M. Roczen

Themen für Examensarbeiten


Ich biete Themen für Examensarbeiten an (Diplom, Master, Staatsexamen), sowohl mit theoretischer als auch mit praktischer, auf die Lehre gerichteter Orientierung. Solide Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra / kommutativen Algebra werden vorausgesetzt und sind bei der Arbeit zu vertiefen. Für die Bearbeitung nahezu aller Themen wird der sichere Umgang mit dem Computeralgebrasystem ? SINGULAR und seiner Skriptsprache erwartet. Bitte wenden Sie sich an mich, wenn Sie Fragen haben.

Kommutative Algebra und Singularitätentheorie

  • Kommutative Algebra beinhaltet eine wesentliche Verallgemeinerunge der Strukturen, die aus den Vorlesungen zur linearen Algebra bekannt sind. Allgemeine polynomiale Gleichungssysteme führen auf die Untersuchung von Idealen in Polynomringen mehrerer Unbestimmter und zu Moduln über diesen. Mittels Standardbasen / Gröbnerbasen wird die Bestimmung von Invarianten für Computeralgebrasysteme zugänglich.
  • Die Faktorringe der Polynomringe nach Idealen haben eine geometrische Bedeutung, sie beschreiben die Feinstruktur der Nullstellenmengen.
  • Homologische Methoden geben ein Maß dafür, wie weit sich beliebige kommutative Ringe etwa von Polynomringen unterscheiden.
  • Singularitäten beschreiben die Abweichung von der anschaulichen "Glattheit" geometrischer Objekte. Dieses in der algebraischen Geometrie intensiv bearbeitete Gebiet erlaubt Themen zu Deformationen und Auflösungen von Singularitäten und stellt eine Verbindung lokaler und globaler Fragen her.
  • Die Darstellungstheorie für einzelne Typen lokaler Ringe ist das Studium sog. maximaler Cohen-Macaulay-Moduln; dazu sind nur in sehr speziellen Fällen Antworten bekannt.

Programmierung von Aufgaben aus der Algebra und linearen Algebra ("E-Learning")

Im Rahmen des Projekts ? Lineare Algebra individuell sind in einer Aufgabensammlung zahlreiche programmierte Texte entstanden, die mit Zufallswerten Übungsaufgaben erzeugen. Es ist oft schwierig, sinnvolle Aufgaben mit akzeptablen Ausgangswerten und Lösungen zu stellen, die Studierenden ein schnelles Eindringen in ein Gebiet ermöglichen.
Die mathematischen Ansprüche an die Programmierung solcher Aufgaben sind wesentlich höher als der Kenntnisstand der Zielgruppe möglicher Leser. Gefordert sind daher

  • die Aufbereitung des zugrundeliegenden mathematischen Stoffs, sowie
  • das Erarbeiten (in diesem Rahmen) sinnvoller Fragestellungen und
  • die Programmierung von Klassen von Beispielen.
Künftige Lehrer haben dabei die Gelegenheit, sowohl mathematisches Durchdringen komplexer algebraischer Sachverhalte als auch Geschick in der Vermittlung von Inhalten unter Beweis zu stellen. Dies sind mögliche Gebiete für die Auswahl der Themen:
  • Lineare Algebra und Algebra
  • Kommutative Algebra