Finanzierung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG)
Programm: Schwerpunktprogramm Globale Differentialgeometrie
Laufzeit: 2 Jahre
Zusammenfassung:
Nichtintegrable spezielle Riemannsche Geometrien in kleinen Dimensionen
n \not\le 8 wurden in der Differentialgeometrie in den 70-iger Jahren
von A. Gray et. al. studiert und spielten seit der zweiten Hälfte
der 80-iger Jahre eine wesentliche Rolle beim Studium kleiner Eigenwerte
des Dirac Operators einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(Friedrich et. al.). Ein erneutes Interesse an nichtintegrablen
Geometrien entstand in den letzten Jahren durch Entwicklungen in der
String-Theorie. Zunächst sind die integrablen Geometrien (Calabi-Yau
Mannigfaltigkeiten, Joyce-Mannigfaltigkeiten etc.) Lösungen der Strominger
Gleichungen (1986) der String-Theorie, allerdings mit einem verschwindenden
B-Feld. Deformiert man diese Vakuum-Lösungen und hält man Ausschau
nach Modellen mit nichttrivialem B-Feld, so ergibt sich aus
einem von Friedrich/Ivanov (2001-2002) ausgearbeiteten Zugang, dass
Lösungen aus speziellen nichtintegrablen Geometrien gewonnen werden könnten.
Ziel dieses Projektes ist es, das skizzierte Programm sowohl in seinen
differentialgeometrischen, spektraltheoretischen und darstellungstheoretischen
Aspekten auszuarbeiten. Dadurch sollen neue Erkenntnisse über diejenigen
fundamentalen Begriffe der Geometrie gewonnen werden, die mit
speziellen Geometrien verbunden sind (Holonomie-Konzept, "kanonische"
Zusammenhänge mit Torsion und deren Dirac-Operatoren) sowie ein Beitrag
der modernen Differentialgeometrie zu aktuellen Entwicklungen in der
String-Theorie geleistet werden.
Summary::
Non integrable special geometries were introduced in Riemannian
geometry for dimensions smaller than 8 by A. Gray in the 70ies,
who subsequently studied them with his collaborators. In the early
80ies, they turned out to play a crucial role in the investigation
of eigenvalue estimates for the Dirac operator on a Riemannian manifold
(Friedrich et.al.). More recently, non integrable geometries became interesting
in the context of string theory. To begin with, integrable geometries
(Calabi-Yau manifolds, Joyce manifolds etc.) are exact solutions
to Strominger's equations (1986), but have vanishing B-field.
If one is interested in solutions with non vanishing B, then an approach
going back to Friedrich/Ivanov (2001-2002) shows that these
may be obtained from known non integrable geometries.
The goal of the project described in this proposal is to investigate this
approach, with particular emphasis on its aspects linked to differential
geometry, spectral theory and representation theory.
In this way, we seek progress on some fundamental notions of geometry
which are intricately related to special geometries (holonomy concept,
"canonical" connections with torsion and their Dirac operators) and intend
to make a well-funded contribution of modern differential geometry to recent
developments in string theory.
Mitarbeiter:
B. Alexandrov (01.01.2004 - 31.03.2004)
C. Puhle (01.04.2004 - 31.10.2005)